viernes, 18 de septiembre de 2009

2.5 APLICACIONES

EJEMPLO:

EJEMPLO:





















EJEMPLO:











2.4 METODOS DE SOLUCION DE UN SISTEMA DE ECIACIONES (GAUSS-JORDAN, ELIMINACION GAUSIANA)






METODO DE GAUSS:





















Transformaciones que se pueden realizar para obtener un sistema equivalente;



















































...........................................................................................................................................................................
SOLUCION POR EL METODO DE GAUSS JORDAN;












2.3 INTERPRETACION GEOMETRICA DE LAS SOLUCIONES



LA INTERPRETACION GEOMETRICA DE LAS SOLUCIONES:

2.2 CLASIFICACION DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y TIPOS DE SOLUCION

En realidad, los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar por diversos motivos, es decir, atendiendo a diversas propiedades de los mismos. Por ejemplo, se pueden clasificar según el grado de las ecuaciones. Tendríamos entonces:
Sistema lineal: si todas las ecuaciones son lineales.
Sistema no lineal: si no todas las ecuaciones son lineales.
De estos dos tipos de sistemas, nosotros estamos tratando en esta Unidad los sistemas lineales.
Por otro lado, también se pueden clasificar los sistemas según el número de ecuaciones o de incógnitas que tengan, es decir, podríamos hablar entonces de:
Sistemas de dos ecuaciones.
Sistemas de tres ecuaciones.
etc. . . . .
O bien de:
Sistemas de una incógnita.
Sistemas de dos incógnitas.
Sistemas de tres incógnitas.
etc. . . . .
En estos casos, debemos dejar claro de nuevo que, en esta Unidad, estamos estudiando los sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas. Por tanto, cuando hacemos referencia a una clasificación de los sistemas, estamos aludiendo a aquella que los etiqueta y distingue según la existencia o no de soluciones y, en el primer caso, el número de ellas. Esta, la más importante, clasificación de los sistemas es la siguiente:
Sistema compatible: es el que tiene solución. Dependiendo del número de soluciones puede ser:
Sistema compatible determinado si tiene una única solución.
Sistema compatible indeterminado si tiene múltiples soluciones.
Sistema incompatible: es el que no tiene solución.
Más adelante, cuando veamos la interpretación gráfica o geométrica de los sistemas de ecuaciones y, por tanto, el método gráfico para resolverlas, seremos conscientes de que cuando hablamos de múltiples soluciones, en realidad, estamos hablando de infinitas soluciones. Es decir, un sistema compatible indeterminado es aquel que tiene infinitas soluciones.
Antes de desarrollar en el siguiente punto los distintos métodos de resolución de los sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas, vamos a ver algunos ejemplos de los tipos de sistemas que hemos mencionado en esta sección:

LOS METODOS DE SOLUCION SON:
Eliminar una incógnita de un sistema de ecuaciones es reducir el sistema propuesto a otro que tenga una ecuación y una incógnita menos.Los métodos de eliminación son:
1º. Por adición o sustracción.
2º. Por igualación.
3º. Por sustitución.
1º. Eliminación por adición o sustracción:
Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas empleando el método de eliminación por suma o resta:
a) Multiplíquense los dos miembros de una de las ecuaciones, o de ambas, por número tales que resulten iguales los coeficientes de una misma incógnita.
b) Súmense las dos ecuaciones si dichos coeficientes son de signos contrarios, y réstense si son de mismo signo.
c) Resuélvase la ecuación que así resulta, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita que contiene.
d) Sustitúyase este valor en una de las ecuaciones dadas y resuélvase; se obtiene así la otra incógnita.
Ejemplo:
Sea resolver el sistema:x - 3y = 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1),
2x + y = -10 . . . . . . . . . . . . . . . . .(2).
Solución:Multiplíquese ambos miembros de (1) por 2, se obtiene:2x - 6y = 18 . . . . . . . . . . . . . . . . (3).
Réstese miembro a miembro la (2) de la (3), desaparecen los términos en "x":-7y = 28 ,se obtiene: y = -4.
Sustitúyase "y" por su valor en cualquiera de las ecuaciones dadas, y despéjese a "x":x - 3y = 9x - 3(-4) = 9x + 12 = 9x = -3;
por tanto:
x = -3;
y = -4.
2º. Eliminación por igualación:

a) Despéjese, en cada ecuación, la incógnita que se requiere eliminar.
b) Iguálense las expresiones que representan el valor de la incógnita eliminada.
c) Resuélvase la ecuación que resulta, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita no eliminada.
d) Sustitúyase el valor hallado en una de las expresiones que representa el valor de la otra incógnita, y resuélvase.
Ejemplo: Sea resolver el sistema:x + 2y = 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1),
4x - y = 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2).
Se va a eliminar "x". Despéjese el valor de "x" en (1) y (2);
se tiene:x = 22 - 2y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3),
x = (7 + y) / 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . (4).
Iguálense las dos expresiones que representan el valor de "x":22 - 2y = (7 + y) / 4Dése forma entera, o sea, quítense los denominadores, luego resuélvase:88 - 8y = 7 + y-9y = -81y = 9Sustitúyase en (3) o en (4) el valor hallado para "y":x = 22 - 2y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3),
x = 22 - 2(9)x = 4
por tanto:
x = 4;
y = 9.
3º. Eliminación por sustitución.
a) Despéjese una incógnita en una de las dos ecuaciones.
b) Sustitúyase la expresión que representa su valor en la otra ecuación.
c) Resuélvase la nueva ecuación, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita no eliminada.
d) Sustitúyase el valor así hallado en la expresión que representa el valor de la otra incógnita, y resuélvase la ecuación resultante.
Ejemplo: Sea resolver el sistema:3x + y = 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . (1),
4x - 3y = -1 . . . . . . . . . . . . . . . . .(2).
Se va a eliminar "x".
Despéjese el valor de "x" en (1):3x = 22 - yx = (22 - y) / 3 . . . . . . . . . . . . . . . (3).
Sustitúyase (3) en (2):4 [(22 - y) / 3] - 3y = -14 (22 - y) - 9y = -388 - 4y - 9y = -3-13y = -91y = 7.
Sustitúyase en (3) el valor hallado para "y".x = (22 - y) / 3 . . . . . . . . . . . . . . . (3).x = (22 - 7) / 3x = 5
por tanto:
x = 5;
y = 7.
Observaciones:
1ª Cuando se resuelve un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de adición, escójanse números tales que multiplicados por los coeficientes de la incógnita que se quiere eliminar, den como producto el m.c.m. de dichos coeficientes.
2ª En el método de sustitución, despéjese la incógnita que tenga menor coeficiente.
3ª En la resolución de un sistema dado, puede usarse indistintamente uno cualquiera de los tres métodos estudiados, y cada uno tiene sus ventajas según los casos particulares.Sin embargo, como los últimos procedimientos introducen, por lo general, expresiones fraccionarias, se usa con preferencia el método por adicción o sustracción, por ser el más sencillo.

2.1 DEFINICION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Ecuaciones lineales con más de dos variables.
Para sistemas de ecuaciones lineales con más de dos variables, podemos usar el método de eliminación por sustitución o el método de eliminación por suma o resta (por adición o sustracción).
El método de eliminación por suma o resta es la técnica más breve y fácil de hallar soluciones. Además, lleva la técnica de matrices que se estudia en esta sección.
Cualquier sistema de ecuaciones lineales con tres variables tiene una solución única, un número infinito de soluciones o no tiene solución.
Método de eliminación para resolver un sistema de ecuaciones lineales:
Ejemplo:
Resuelve el sistema:
x + 2y + 3z = 9 …………………………….. (primer ecuación)
4x + 5y + 6z = 24 …………………………. (segunda ecuación)
3x + y - 2z = 4 ……………………………. (tercera ecuación)
Solución:
Suma −4 veces la “primera ecuación” a la “segunda”:
[x + 2y + 3z = 9]−4 → −4x −8y −12z =−36
4x +5y + 6z = 24

0 −3y - 6z = −12
Suma −3 veces la “primera ecuación” a la “tercera”:
x + 2y + 3z = 9
-3y - 6z = −12
-5y - 11z = −23
Multiplica por -(1÷ 3) la “segunda ecuación”:
x + 2y + 3z = 9
y + 2z = 4
-5y −11z = −23
Multiplica por −1 la “tercera ecuación”:
x + 2y + 3z = 9
y + 2z = 4
5y +11z = 23
Suma −5 veces la “segunda ecuación” a la “tercera”:
x + 2y + 3z = 9
y + 2z = 4
z = 3
Las soluciones del último sistema son fáciles de hallar por sustitución. De la “tercera ecuación”, vemos que z = 3. Al sustituir “z” con 3 en la “segunda ecuación”, y + 2z = 4 obtenemos y = −2. Por último, encontramos el valor de “x” al sustituir y = −2 y z = 3, en la “primera ecuación”, x + 2y + 3z = 9 con lo cual x = 4. Por tanto, hay una solución:
x = 4,
y = −2,
z = 3.
Si analizamos el método de solución, vemos que los símbolos usados para las variables carecen de importancia; debemos tomar en cuenta los coeficientes de las variables. Puesto que esto es verdadero, es posible simplificar el proceso. En particular, introducimos un esquema a fin de seguir los coeficientes en forma tal que no haya necesidad de escribir las variables.
Con referencia al sistema anterior, primero comprobamos que las variables aparezcan en el mismo orden en cada ecuación y que los términos sin variables estén a la derecha de los signos de igualdad. En seguida anotamos los números que intervienen en las ecuaciones de esta forma:
Una ordenación de números de este tipo se llama matriz.
Los renglones (o filas) de la matriz son los números que aparecen uno a continuación del otro en sentido horizontal:
1 2 3 4 primer renglón R1
4 5 6 24 segundo renglón R2
3 1 −2 4 tercer renglón R3
Las columnas de la matriz son los números que aparecen uno junto del otro en sentido vertical
Primera columna C1 Segunda columna C2 Tercera columna C3 Cuarta columna C4
1 2 3 9
4 5 6 24
3 1 −2 4
La matriz obtenida del sistema de ecuaciones lineales del modo anterior es la matriz del sistema. Si borramos la última columna, la restante ordenación es la matriz de coeficiente. En vista de que podemos tener la matriz del sistema a partir de la matriz coeficiente agregando una columna, le decimos matriz coeficiente aumentada o simplemente matriz aumentada. Después, cuando usemos matrices para hallar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, introduciremos un segmento de línea vertical en la matriz aumentada a fin de indicar dónde aparecerían los signos de igualdad en el sistema de ecuaciones correspondiente.
Sistema Matriz coeficiente Matriz aumentada
Antes de estudiar un método de matrices para resolver un sistema de ecuaciones lineales, daremos una definición general de matriz.
Definición de matriz.
Sean m y n enteros positivos. Una matriz de m x n (se lee “m” por “n”), es una matriz de la siguiente forma, donde cada aij es un numero real.
Ejemplos:
Sea la matriz:
por tanto, es una “matriz de orden 2 x 3.”
Sea la matriz:
por tanto, es una “matriz de orden 3 x 1.”
Teorema sobre transformaciones de renglones de matrices.
Dada una matriz de un sistema de ecuaciones lineales, resulta una matriz de un sistema equivalente si:
a) Se intercambian dos renglones. Símbolo: Ri Rj.
b) Se multiplica o divide un renglón por una constante diferente de cero. Símbolo: kRi Ri.
c) Un múltiplo constante de un renglón se suma a otro renglón. Símbolo: kRi + Rj Rj.
Uso de matrices para resolver un sistema de ecuaciones lineales.
Ejemplo.
Resuelve el sistema:
x + 2y + 3z = 9
4x + 5y + 6z = 24
3x + y - 2z = 4
Comenzaremos con la matriz del sistema, es decir, la matriz aumentada:
Luego aplicamos transformaciones elementales de renglón a fin de obtener otra matriz (más sencilla) de un sistema de ecuaciones equivalentes. Pondremos símbolos adecuados entre matrices equivalentes.
(−4)R1 +R2R2
(−3)R1 +R3R3
(-(1÷ 3))R 2 R 2
(−1)R 3 R 3
(−5)R2 + R 3 R 3
Con la matriz final regresamos al sistema de ecuaciones:
Que equivale al sistema original. La solución x = 4, y = −2, z = 3 se puede encontrar ahora por sustitución.
La matriz final de la solución es una forma escalonada.
En general, una matriz está en forma escalonada si satisface estas condiciones:
a) El primer número diferente de cero de cada renglón, leyendo de izquierda a derecha, es 1.
b) La columna que contenga el primer número diferente de cero en cualquier renglón está a la izquierda de la columna con el primer número distinto de cero del renglón de abajo.
c) Los renglones formados enteramente de ceros pueden aparecer en la parte inferior de la matriz.
Ejemplo:
Sea la matriz:
es “una matriz escalonada”
Guías para hallar la forma escalonada de una matriz.
(a) Localizar la primer columna que contenga elementos diferentes de cero y aplicar transformaciones elementales de renglón a fin de obtener 1 en el primer renglón de esa columna.
(b) Aplicar transformaciones elementales de renglón del tipo kR1 + Rj Rj. para j > 1 y obtener 0 bajo el número 1 obtenido en la guía (a) en cada uno de los renglones restantes.
© Hacer caso omiso del primer renglón. Localizar la próxima columna que contenga elementos diferentes de cero y aplicar transformaciones elementales de renglón con objeto de obtener el número 1 en el segundo renglón de esa columna.
(d) Aplicar transformaciones elementales del tipo kR2 + Rj Rj. para j >2 y obtener 0 bajo el número 1 obtenido en la guía © en cada uno de los renglones restantes.
(e) Hacer caso omiso del primer y segundo renglones. Localizar la siguiente columna que contenga elementos diferentes de cero y repetir el procedimiento.
(f) Continuar el proceso hasta alcanzar la forma escalonada.
Uso de la forma escalonada para resolver un sistema de ecuaciones lineales.
Ejemplo:
Resuelve el sistema:
Solución: Comenzamos con la matriz aumentada y luego obtenemos una forma escalonada, según se describe en las guías.
R1 R4
R2 R3
(1)R1 + R 3 R 3
(−2)R1 +R4R4
(−1)R 2 R 2
(-(1÷ 2))R 2 R 2
(−1)R2 + R 3 R 3
(−1)R2 + R 4 R 4
(3)R3 + R 4 R 4
La matriz final está en forma escalonada y corresponde a un sistema de ecuaciones:
(-(1÷ 2))R 4 R 4
Ahora usamos sustitución a fin de hallar la solución. De la última ecuación vemos que w = −1; de la tercera ecuación vemos que z = −2 . Sustituimos en la segunda ecuación, y obtenemos:
y - 2z - w = 6
y - 2(−2) - (−1) = 6
y + 4 + 1 = 6
y = 1
Sustituimos los valores encontrados en la primera ecuación:
x + z + 2w = −3
x + (−2) + 2(−1) = −3
x - 2 - 2 = −3
x = 1
Por lo tanto, el sistema tiene una solución: x = 1, y = 1, z = −2, w = −1.

EJERCICIOS RESUELTOS











EJERCICIOS