viernes, 18 de septiembre de 2009

2.2 CLASIFICACION DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y TIPOS DE SOLUCION

En realidad, los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar por diversos motivos, es decir, atendiendo a diversas propiedades de los mismos. Por ejemplo, se pueden clasificar según el grado de las ecuaciones. Tendríamos entonces:
Sistema lineal: si todas las ecuaciones son lineales.
Sistema no lineal: si no todas las ecuaciones son lineales.
De estos dos tipos de sistemas, nosotros estamos tratando en esta Unidad los sistemas lineales.
Por otro lado, también se pueden clasificar los sistemas según el número de ecuaciones o de incógnitas que tengan, es decir, podríamos hablar entonces de:
Sistemas de dos ecuaciones.
Sistemas de tres ecuaciones.
etc. . . . .
O bien de:
Sistemas de una incógnita.
Sistemas de dos incógnitas.
Sistemas de tres incógnitas.
etc. . . . .
En estos casos, debemos dejar claro de nuevo que, en esta Unidad, estamos estudiando los sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas. Por tanto, cuando hacemos referencia a una clasificación de los sistemas, estamos aludiendo a aquella que los etiqueta y distingue según la existencia o no de soluciones y, en el primer caso, el número de ellas. Esta, la más importante, clasificación de los sistemas es la siguiente:
Sistema compatible: es el que tiene solución. Dependiendo del número de soluciones puede ser:
Sistema compatible determinado si tiene una única solución.
Sistema compatible indeterminado si tiene múltiples soluciones.
Sistema incompatible: es el que no tiene solución.
Más adelante, cuando veamos la interpretación gráfica o geométrica de los sistemas de ecuaciones y, por tanto, el método gráfico para resolverlas, seremos conscientes de que cuando hablamos de múltiples soluciones, en realidad, estamos hablando de infinitas soluciones. Es decir, un sistema compatible indeterminado es aquel que tiene infinitas soluciones.
Antes de desarrollar en el siguiente punto los distintos métodos de resolución de los sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas, vamos a ver algunos ejemplos de los tipos de sistemas que hemos mencionado en esta sección:

LOS METODOS DE SOLUCION SON:
Eliminar una incógnita de un sistema de ecuaciones es reducir el sistema propuesto a otro que tenga una ecuación y una incógnita menos.Los métodos de eliminación son:
1º. Por adición o sustracción.
2º. Por igualación.
3º. Por sustitución.
1º. Eliminación por adición o sustracción:
Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas empleando el método de eliminación por suma o resta:
a) Multiplíquense los dos miembros de una de las ecuaciones, o de ambas, por número tales que resulten iguales los coeficientes de una misma incógnita.
b) Súmense las dos ecuaciones si dichos coeficientes son de signos contrarios, y réstense si son de mismo signo.
c) Resuélvase la ecuación que así resulta, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita que contiene.
d) Sustitúyase este valor en una de las ecuaciones dadas y resuélvase; se obtiene así la otra incógnita.
Ejemplo:
Sea resolver el sistema:x - 3y = 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1),
2x + y = -10 . . . . . . . . . . . . . . . . .(2).
Solución:Multiplíquese ambos miembros de (1) por 2, se obtiene:2x - 6y = 18 . . . . . . . . . . . . . . . . (3).
Réstese miembro a miembro la (2) de la (3), desaparecen los términos en "x":-7y = 28 ,se obtiene: y = -4.
Sustitúyase "y" por su valor en cualquiera de las ecuaciones dadas, y despéjese a "x":x - 3y = 9x - 3(-4) = 9x + 12 = 9x = -3;
por tanto:
x = -3;
y = -4.
2º. Eliminación por igualación:

a) Despéjese, en cada ecuación, la incógnita que se requiere eliminar.
b) Iguálense las expresiones que representan el valor de la incógnita eliminada.
c) Resuélvase la ecuación que resulta, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita no eliminada.
d) Sustitúyase el valor hallado en una de las expresiones que representa el valor de la otra incógnita, y resuélvase.
Ejemplo: Sea resolver el sistema:x + 2y = 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1),
4x - y = 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2).
Se va a eliminar "x". Despéjese el valor de "x" en (1) y (2);
se tiene:x = 22 - 2y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3),
x = (7 + y) / 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . (4).
Iguálense las dos expresiones que representan el valor de "x":22 - 2y = (7 + y) / 4Dése forma entera, o sea, quítense los denominadores, luego resuélvase:88 - 8y = 7 + y-9y = -81y = 9Sustitúyase en (3) o en (4) el valor hallado para "y":x = 22 - 2y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3),
x = 22 - 2(9)x = 4
por tanto:
x = 4;
y = 9.
3º. Eliminación por sustitución.
a) Despéjese una incógnita en una de las dos ecuaciones.
b) Sustitúyase la expresión que representa su valor en la otra ecuación.
c) Resuélvase la nueva ecuación, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita no eliminada.
d) Sustitúyase el valor así hallado en la expresión que representa el valor de la otra incógnita, y resuélvase la ecuación resultante.
Ejemplo: Sea resolver el sistema:3x + y = 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . (1),
4x - 3y = -1 . . . . . . . . . . . . . . . . .(2).
Se va a eliminar "x".
Despéjese el valor de "x" en (1):3x = 22 - yx = (22 - y) / 3 . . . . . . . . . . . . . . . (3).
Sustitúyase (3) en (2):4 [(22 - y) / 3] - 3y = -14 (22 - y) - 9y = -388 - 4y - 9y = -3-13y = -91y = 7.
Sustitúyase en (3) el valor hallado para "y".x = (22 - y) / 3 . . . . . . . . . . . . . . . (3).x = (22 - 7) / 3x = 5
por tanto:
x = 5;
y = 7.
Observaciones:
1ª Cuando se resuelve un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de adición, escójanse números tales que multiplicados por los coeficientes de la incógnita que se quiere eliminar, den como producto el m.c.m. de dichos coeficientes.
2ª En el método de sustitución, despéjese la incógnita que tenga menor coeficiente.
3ª En la resolución de un sistema dado, puede usarse indistintamente uno cualquiera de los tres métodos estudiados, y cada uno tiene sus ventajas según los casos particulares.Sin embargo, como los últimos procedimientos introducen, por lo general, expresiones fraccionarias, se usa con preferencia el método por adicción o sustracción, por ser el más sencillo.

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